EVENTOS, REGLAS Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD

TABLAS DE CONTINGENCIA.

Es un método útil para clasificar los datos. Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla

Ejemplo:

Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:

1.¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

2.Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

Ejercicios de Clase

1. Los siguientes datos muestran el número de sujetos con una forma de vida sedentaria  y el padecimiento de alergías.

Forma de vida	Sufre alergia	No sufre alergia
Sedentaria	130	30
No sedentaria	20	120

Encuentre la probabilidad de 

a) ser sedentario

b) Sufrir alergia y no ser sedentario

c) No sufrir alergia

2. De los 650 padres del colegio A, 400 están en contra de que los niños vayan a colonias y el resto a favor, mientras que de los 260 padres del colegio B, 100 están a favor de que los niños realicen esta actividad y el resto en contra

a) Obtenga la tabla de contingencia

b) calcule la probabilidad de que los padres del colegio A estén a favor

c) Calcule la probabilidad de que los padres estén en contra

d) Calcule la probabilidad de que sean padres del colegio B en contra

3. Para saber si la presentación de caries en niños está asociada con la experiencia de caries en al menos uno de los padres, se tomaron 523 niños de entre 12 y 15 años de edad y se les clasificó según su estado de caries dental (Baja, Normal y Alta) y según la experiencia de caries en sus padres (Baja, Normal y Alta), obteniéndose los datos de la tabla siguiente.

Niño	Padres
	Baja	Normal	Alta
Baja	142	20	48
Normal	46	108	47
Alta	30	15	67

calcule la probabilidad de:

a) Padres con alta caries dental   y niños baja 

b) Niños de caries dental normal

c) Padres con baja caries dental y niños con normal caries dental

DIAGRAMA DE ÁRBOL

El diagrama de árbol es un método para obtener los resultados posibles de un experimento cuando éste se produce en unas pocas etapas. Cada paso del experimento se representa como una ramificación del árbol.

Ejemplos:

1. En un colegio se imparten sólo los idiomas inglés y francés. El 80 % de los alumnos estudian inglés y el resto francés. El 30 % de los alumnos de inglés son socios del club musical del colegio y de los que estudian francés son socios de dicho club el 40 %. Se elige un alumno al azar. Calcular la probabilidad de que pertenezca al club musical

2. Se lanzan al aire tres monedas iguales. Obtén el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de que caigan cara, cruz, cara

EJERCICIOS DE CLASE

1. Una mujer es portadora de hemofilia. Aunque la mujer no tenga la enfermedad, puede transmitirla a sus 3 hijos. Obtener las trayectorias para este experimento mediante un diagrama de árbol. Calcular la probabilidad de que :

a) ningún hijo tenga la enfermedad

b) Dos hijos tengan la enfermedad

2. En una asignatura de primer año, asisten 100 de los 150 alumnos matriculados. Se sabe que aprueban 90% de los que asisten a clasey 30% de los que no asisten. Obtener las trayectorias para este experimento mediante un diagrama de árbol. Calcular la probabilidad de que al elegir un alumno al azar haya aprobado.

TIPOS DE EVENTOS

Dependientes P(A / B)= P(A y B)/ P(B)

Independientes  P(A y B )= P(A)P(B)

Mutuamente excluyentes  P(AyB)= 0 

REGLAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES

1. ADICIÓN. P(A o B) = P(A) + P(B) -P(AyB)

Ejemplo:
La probabilidad de que una máquina llene con menos peso del indicado bolsas de verduras congeladas=0.025
La probabilidad de que una máquina llene con el peso  indicado bolsas de verduras congeladas=0.90
La probabilidad de que una máquina llene con más peso del indicado bolsas de verduras congeladas=0.075
Cuál es el probabilidad de que un paquete de verduras congeladas pese menos o pese más?

2. COMPLEMENTO P(A)= 1- P(No A)
Una bolsa contiene 6 canicas azules, 2 rojas y 4 verdes.
La probabilidad de que sean verdes = 4/12
La probabilidad de que no sean verdes = 1- 4/12= 8/12

3. MULTIPLICACIÓN P(A y B)= P(A) P(B/A)

Funciones de probabilidad

se clasifican en Discretas y en Continuas

Binomial

Distribución de Probabilidad Discreta Caracterizada por éxitos y fracasos

FÓRMULA

EJEMPLOS

EJERCICIOS

Binomial

1. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar Si o No. Suponiendo que a las personas se les aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia contestan al azar. Calcula la probabilidad de:

a) Obtener 5 aciertos

b) Un acierto

c) Al menos cinco aciertos

2. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de Licenciado en Farmacia es 0.3  Hallar la probabilidad de que de un grupo de siete estudiantes matriculados:

a) Ninguno de los siete finalice la carrera

b) Finalicen todos

c) Al menos dos acaben la carrera

d) Hallar la media y la desviación estándar del número de estudiantes que acaban la carrera

3. La probabilidad de que un alumno de 1º. Bachillerato repita curso es de 0.3. Elegimos 20 alumnos al azar. Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores?

4. calcula la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños

5. En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos: a) Ninguno. b) Uno. c) Más de dos. ¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja?

TAREA BINOMIAL

1. En un estudio se detectó que 90% de  las familias tienen televisores de pantalla grande, en una muestra de 9 familias. Cuál es la probabilidad de que

a) Las nueve tengan t.v. de pantalla grande

b) Menos de 5 NO tengan t.v. de pantalla grande   p=10%

c) Más de 5 tengan t.v de pantalla grande

d) Ninguno tenga t.v de pantalla grande

e) Entre 5 y 9 inclusive tengan t.v con pantalla grande

f) Dos o menos NO tengan t.v  con pantalla grande

2. Se reporta que 16% de los hogares  utilizan un teléfono celular. En una muestra de 8 hogares, encuentra la probabilidad de que:

a) Ninguno use celular

b) Cuando menos uno use celular

c) Cuando menos 5 use celular

d) Máximo 3 usen celular

3. Us Airways tiene 5 vuelos diarios de Pittsburg al aeropuerto regional de Bradford, Pennsylvania. Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo llegue tarde es  de 0.20 Cuál es  la probabilidad de que

a)Ninguno de los vuelos llegue tarde hoy

b)Exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy

c)Más de 3 vuelos lleguen tarden hoy

d)Menos de 5 y más de 3 vuelos lleguen tarde hoy

SOLUCIONES

EJERCICIO 1.

inciso A	exitos	prob	porcentaje
	9	0.3874	38.74%
inciso B	exitos	prob
	4	0.0074	0.74%
	3	0.0446	4.46%
	2	0.1722	17.22%
	1	0.3874	38.74%
	0	0.3874	38.74%
	suma	0.9991	99.91%
inciso C	exitos
	6	0.0446	4.46%
	7	0.1722	17.22%
	8	0.3874	38.74%
	9	0.3874	38.74%
	suma	0.9917	99.17%
inciso D	exitos	prob
	0	0.0000	0%
inciso e	exitos	prob
	5	0.0074	0.74%
	6	0.0446	4.46%
	7	0.1722	17.22%
	8	0.3874	38.74%
	9	0.3874	38.74%
	suma	0.9991	99.91%
inciso F	exitos	prob
	2	0.1722	17.22%
	1	0.3874	38.74%
	0	0.3874	38.74%
	suma	0.9470	94.70%

SOLUCIÓN EJERCICIO 2

P	n	x	f(x)
0.16	8	0	0.24787589
		1	0.37771564
		2	0.25181043
		3	0.09592778
		4	0.02283995
		5	0.00348037
		6	0.00033146
		7	1.8039E-05
		8	4.295E-07
		suma	1

a) Ninguno use celular = 0.2478

b) Cuando menos uno use celular = 1-0.2478= 0.7521

c) Cuando menos 5 use celular= 0.0038

d) Máximo 3 usen celular= 0.9733

SOLUCIÓN EJERCICIO 3

P	n	x	f(x)
0.2	5	0	0.32768
		1	0.4096
		2	0.2048
		3	0.0512
		4	0.0064
		5	0.00032
		suma	1

a)Ninguno de los vuelos llegue tarde hoy = 0.3268

b)Exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy= 0.4096

c)Más de 3 vuelos lleguen tarden hoy =0.00672

d)Menos de 5 y más de 3 vuelos lleguen tarde hoy= 0.0064