EVENTOS, REGLAS Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD

TABLAS DE CONTINGENCIA.

Es un método útil para clasificar los datos. Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla

Ejemplo:

Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:

1.¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

2.Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

Ejercicios de Clase

1. Los siguientes datos muestran el número de sujetos con una forma de vida sedentaria  y el padecimiento de alergías.

Forma de vida	Sufre alergia	No sufre alergia
Sedentaria	130	30
No sedentaria	20	120

Encuentre la probabilidad de 

a) ser sedentario

b) Sufrir alergia y no ser sedentario

c) No sufrir alergia

2. De los 650 padres del colegio A, 400 están en contra de que los niños vayan a colonias y el resto a favor, mientras que de los 260 padres del colegio B, 100 están a favor de que los niños realicen esta actividad y el resto en contra

a) Obtenga la tabla de contingencia

b) calcule la probabilidad de que los padres del colegio A estén a favor

c) Calcule la probabilidad de que los padres estén en contra

d) Calcule la probabilidad de que sean padres del colegio B en contra

3. Para saber si la presentación de caries en niños está asociada con la experiencia de caries en al menos uno de los padres, se tomaron 523 niños de entre 12 y 15 años de edad y se les clasificó según su estado de caries dental (Baja, Normal y Alta) y según la experiencia de caries en sus padres (Baja, Normal y Alta), obteniéndose los datos de la tabla siguiente.

Niño	Padres
	Baja	Normal	Alta
Baja	142	20	48
Normal	46	108	47
Alta	30	15	67

calcule la probabilidad de:

a) Padres con alta caries dental   y niños baja 

b) Niños de caries dental normal

c) Padres con baja caries dental y niños con normal caries dental

DIAGRAMA DE ÁRBOL

El diagrama de árbol es un método para obtener los resultados posibles de un experimento cuando éste se produce en unas pocas etapas. Cada paso del experimento se representa como una ramificación del árbol.

Ejemplos:

1. En un colegio se imparten sólo los idiomas inglés y francés. El 80 % de los alumnos estudian inglés y el resto francés. El 30 % de los alumnos de inglés son socios del club musical del colegio y de los que estudian francés son socios de dicho club el 40 %. Se elige un alumno al azar. Calcular la probabilidad de que pertenezca al club musical

2. Se lanzan al aire tres monedas iguales. Obtén el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de que caigan cara, cruz, cara

EJERCICIOS DE CLASE

1. Una mujer es portadora de hemofilia. Aunque la mujer no tenga la enfermedad, puede transmitirla a sus 3 hijos. Obtener las trayectorias para este experimento mediante un diagrama de árbol. Calcular la probabilidad de que :

a) ningún hijo tenga la enfermedad

b) Dos hijos tengan la enfermedad

2. En una asignatura de primer año, asisten 100 de los 150 alumnos matriculados. Se sabe que aprueban 90% de los que asisten a clasey 30% de los que no asisten. Obtener las trayectorias para este experimento mediante un diagrama de árbol. Calcular la probabilidad de que al elegir un alumno al azar haya aprobado.

TIPOS DE EVENTOS

Dependientes P(A / B)= P(A y B)/ P(B)

Independientes  P(A y B )= P(A)P(B)

Mutuamente excluyentes  P(AyB)= 0 

REGLAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES

1. ADICIÓN. P(A o B) = P(A) + P(B) -P(AyB)

Ejemplo:
La probabilidad de que una máquina llene con menos peso del indicado bolsas de verduras congeladas=0.025
La probabilidad de que una máquina llene con el peso  indicado bolsas de verduras congeladas=0.90
La probabilidad de que una máquina llene con más peso del indicado bolsas de verduras congeladas=0.075
Cuál es el probabilidad de que un paquete de verduras congeladas pese menos o pese más?

2. COMPLEMENTO P(A)= 1- P(No A)
Una bolsa contiene 6 canicas azules, 2 rojas y 4 verdes.
La probabilidad de que sean verdes = 4/12
La probabilidad de que no sean verdes = 1- 4/12= 8/12

3. MULTIPLICACIÓN P(A y B)= P(A) P(B/A)

Funciones de probabilidad

se clasifican en Discretas y en Continuas

Binomial

Distribución de Probabilidad Discreta Caracterizada por éxitos y fracasos

FÓRMULA

EJEMPLOS

EJERCICIOS

Binomial

1. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar Si o No. Suponiendo que a las personas se les aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia contestan al azar. Calcula la probabilidad de:

a) Obtener 5 aciertos

b) Un acierto

c) Al menos cinco aciertos

2. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de Licenciado en Farmacia es 0.3  Hallar la probabilidad de que de un grupo de siete estudiantes matriculados:

a) Ninguno de los siete finalice la carrera

b) Finalicen todos

c) Al menos dos acaben la carrera

d) Hallar la media y la desviación estándar del número de estudiantes que acaban la carrera

3. La probabilidad de que un alumno de 1º. Bachillerato repita curso es de 0.3. Elegimos 20 alumnos al azar. Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores?

4. calcula la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños

5. En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos: a) Ninguno. b) Uno. c) Más de dos. ¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja?

TAREA BINOMIAL

1. En un estudio se detectó que 90% de  las familias tienen televisores de pantalla grande, en una muestra de 9 familias. Cuál es la probabilidad de que

a) Las nueve tengan t.v. de pantalla grande

b) Menos de 5 NO tengan t.v. de pantalla grande   p=10%

c) Más de 5 tengan t.v de pantalla grande

d) Ninguno tenga t.v de pantalla grande

e) Entre 5 y 9 inclusive tengan t.v con pantalla grande

f) Dos o menos NO tengan t.v  con pantalla grande

2. Se reporta que 16% de los hogares  utilizan un teléfono celular. En una muestra de 8 hogares, encuentra la probabilidad de que:

a) Ninguno use celular

b) Cuando menos uno use celular

c) Cuando menos 5 use celular

d) Máximo 3 usen celular

3. Us Airways tiene 5 vuelos diarios de Pittsburg al aeropuerto regional de Bradford, Pennsylvania. Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo llegue tarde es  de 0.20 Cuál es  la probabilidad de que

a)Ninguno de los vuelos llegue tarde hoy

b)Exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy

c)Más de 3 vuelos lleguen tarden hoy

d)Menos de 5 y más de 3 vuelos lleguen tarde hoy

SOLUCIONES

EJERCICIO 1.

inciso A	exitos	prob	porcentaje
	9	0.3874	38.74%
inciso B	exitos	prob
	4	0.0074	0.74%
	3	0.0446	4.46%
	2	0.1722	17.22%
	1	0.3874	38.74%
	0	0.3874	38.74%
	suma	0.9991	99.91%
inciso C	exitos
	6	0.0446	4.46%
	7	0.1722	17.22%
	8	0.3874	38.74%
	9	0.3874	38.74%
	suma	0.9917	99.17%
inciso D	exitos	prob
	0	0.0000	0%
inciso e	exitos	prob
	5	0.0074	0.74%
	6	0.0446	4.46%
	7	0.1722	17.22%
	8	0.3874	38.74%
	9	0.3874	38.74%
	suma	0.9991	99.91%
inciso F	exitos	prob
	2	0.1722	17.22%
	1	0.3874	38.74%
	0	0.3874	38.74%
	suma	0.9470	94.70%

SOLUCIÓN EJERCICIO 2

P	n	x	f(x)
0.16	8	0	0.24787589
		1	0.37771564
		2	0.25181043
		3	0.09592778
		4	0.02283995
		5	0.00348037
		6	0.00033146
		7	1.8039E-05
		8	4.295E-07
		suma	1

a) Ninguno use celular = 0.2478

b) Cuando menos uno use celular = 1-0.2478= 0.7521

c) Cuando menos 5 use celular= 0.0038

d) Máximo 3 usen celular= 0.9733

SOLUCIÓN EJERCICIO 3

P	n	x	f(x)
0.2	5	0	0.32768
		1	0.4096
		2	0.2048
		3	0.0512
		4	0.0064
		5	0.00032
		suma	1

a)Ninguno de los vuelos llegue tarde hoy = 0.3268

b)Exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy= 0.4096

c)Más de 3 vuelos lleguen tarden hoy =0.00672

d)Menos de 5 y más de 3 vuelos lleguen tarde hoy= 0.0064

TÉCNICAS DE CONTEO

TÉCNICAS DE CONTEO

En Combinaciones…. No importa el orden

En Permutaciones … Importa el orden

EJERCICIOS  TÉCNICAS DE CONTEO

EJERCICIOS DE TÉCNICAS DE CONTEO

1.- En  un aparador se exhiben 10 llantas, todas de igual manera, entre ellas 4 tienen defecto. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar las 4 llantas con defecto de entre las 10?

  

2.- Un gerente de personal va a realizar una selección de personas de entre las 32 que tiene contratadas de la siguiente manera: 15 por honorarios y 17 como empleado. ¿De cuántas maneras puede elegir:

a) una persona contratada por honorarios?

b) a una persona contratada por honorarios y a otra como empleado?

3.- Usted adquiere una oferta en la que por comprar 2 litros de helado de cualquier sabor de entre 14, usted puede elegir un delicioso pastel que puede ser: chocolate, vainilla, coco o zanahoria. Cada litro de helado puede ser de diferente sabor. ¿De cuántas maneras puede usted elegir una oferta?

4.- Se realiza una investigación de mercado en una unidad habitacional con 50 viviendas de las que usted seleccionará a 3 al azar. ¿De cuántas formas puede realizarlo?

5.- Un aparadorista desea arreglar 6 artículos, ¿de cuántas maneras puede ordenarlos?

6.- En un estudio médico, se clasifica a los pacientes de acuerdo con el tipo de sangre que tengan ya sea tipo A, B, AB u O y también de acuerdo con su tipo de presión sanguínea, ya sea baja, normal o alta. ¿De cuántas maneras distintas se puede clasificar a un paciente?

7.- Una cafetería ofrece una comida especial que consiste en un emparedado (usando una de 8 carnes distintas y uno de cuatro tipos diferentes de pan), una de cuatro clases distintas de sopa y una de 3 bebidas diferentes. ¿De cuántas maneras distintas una persona puede seleccionar una de estas comidas especiales?

8.- Si veinte pinturas participan en una exposición de arte. ¿De cuántas maneras distintas los jueces pueden otorgar un primer y segundo lugar si lo hicieran de manera aleatoria?

9.- ¿De cuántas maneras distintas los 52 miembros de un sindicato pueden elegir un director, un subdirector, un secretario y un tesorero de entre sus miembros?

10.- Un parque de diversiones tiene 28 recorridos distintos. ¿De cuántas maneras diferentes una persona puede tomar cuatro de estos recorridos, suponiendo que el orden es importante?

11.- En una encuesta de ciencias políticas, se clasifica a los electores en seis categorías de ingreso y cinco categorías de educación. ¿De cuántas maneras distintas se puede clasificar a un elector?

12.- Una cadena de tiendas de muebles tiene tres almacenes y 20 sucursales de venta al menudeo. ¿De cuántas maneras diferentes pueden embarcar un artículo de uno de los almacenes a una de las sucursales a menudeo?

13.- Un encuestador nacional ha formulado 15 preguntas diseñadas para medir el desempeño del presidente de los Estados Unidos. El encuestador selecciona 10 de las preguntas. ¿Cuántas distribuciones de las 10 preguntas se pueden formar tomando en cuenta el orden?

14.- La contraseña de una computadora consta de 4 caracteres, los caracteres pueden ser una de las 26 letras del alfabeto. Cada carácter se puede incluir más de una vez ¿Cuántas diferentes contraseñas puede haber?

15. Para confeccionar un examen se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de Estadística y 2 de Álgebra. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponden a un mismo tema, deben ir juntos?

16. De cuantas maneras se puede seleccionar la combinación de un candado de 5 números, si cada número puede ir del 1 al 6

17. Con los dígitos 0,1, 2, 3, 4, y 5 Cuántos números de  3 cifras pueden formarse?

TAREA.
Resuelve los siguientes ejercicios

1. De cuántas maneras se pueden ordenar 5 canicas de colores en una línea?

2. De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas a partir de un grupo 
        de 9?

3. De cuántas maneras posibles se pueden sentar 10 personas en una banca , si sólo
         hay 4 lugares disponibles?

4. ¿Cuántas ensaladas diferentes se pueden hacer con 10 ingredientes disponibles
           considerando solo 4 a la vez?

5. ¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse si:
      a) Se permiten repeticiones
      b) No se permiten repeticiones
      c) El último número debe ser cero  y no se permiten repeticiones

6. En una biblioteca se quieren acomodar 4 libros diferentes de matemáticas, 6 libros
    distintos de física y 2 libros diferentes de química. ¿Cuántos ordenamientos diferentes
    son posibles si los libros de cada materia deben quedar juntos?

7. Una empresa de tornos cuenta con 8 , sin embargo, sólo cuenta con tres espacios disponibles en el área de producción para las máquinas. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las ocho máquinas en los tres espacios disponibles?

8. La contraseña de una computadora consta de 4 caracteres. Los caracteres pueden ser una de las 26 letras del alfabeto. Cada carácter se puede incluir más de una vez. Cuántas diferentes contraseñas puede haber?

9. De cuántas maneras diferentes se puede elegir 3 latas de un lote de 24?

10. Una compañía constructora está de acuerdo en no construir casas iguales. Ofrece 5 diseños de exterior y 3 diseños de interior que pueden combinar los compradores. ¿Cuántas opciones diferentes de interior y exterior se ofrecen?

Repaso

Con los siguientes datos 

34	35	39	40	52	60
34	35	38	40	53	60
34	36	38	40	55	62
35	36	38	40	55	62
35	37	40	40	56	62

Obtenga 

1. Tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados, utilice 5 intervalos

2. Grafique un polígono de frecuencias y un histograma

3. Calcule las medidas de tendencia central

4. Calcule las medidas de dispersión

5. Obtenga el percentil 7, decil 4, cuartil 3

FORMULARIO PRIMER PARCIAL